Fondamenti della meccanica atomica
In un istante qualsiasi, la f è rappresentata graficamente, lungo l'asse x, da una sinusoide di lunghezza d'onda λ, la quale, col tempo, progredisce
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Se una radiazione monocromatica, di lunghezza d'onda λ, si propaga (per onde piane) con velocità V lungo l'asse delle x, una qualsiasi componente f
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Al tempo O, la distribuzione della f lungo l'asse delle x è data da
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Supponiamo dunque che della luce (o, più generalmente, della radiazione) di lunghezza d'onda propagandosi nel senso dell'asse x (fig. 22), arrivi
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che l'asse y sia posto trasversalmente alla fessura) con una incertezza
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Si manda nella direzione dell'asse x della luce di frequenza nota v: si raccoglie poi in uno spettroscopio la radiazione diffusa dalla particella nel
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dove rappresenta la velocità lungo l'asse x prima della misura. Però va tenuto presente che la particella riceve un impulso nell'atto della
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, rappresentano le componenti del momento elettrico. . Se p. es.la radiazione emessa corrisponde a quella di un oscillatore lineare parallelo all'asse z, e
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all'asse x, ossia che le sue coordinate y e z sono completamente indeterminate, potendo assumere, con eguale probabilità, qualunque valore: solo della
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concava verso l'asse x: viceversa, essa, è convessa verso l'asse x nelle regioni in cui . È intuitivo allora che nelle prime regioni la curva può
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valore qualunque di E, consideriamo una curva u(tratteggiata) rappresentante una soluzione che verso sinistra tende asintoticamente all'asse x: essa si
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scala sull'asse x, introducendo la variabile
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dell'elettrone rispetto all'asse z è .
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medesimo integrale u nelle tre regioni I, II, III dell'asse reale si devono dare alle costanti e valori diversi in ciascuna di esse: li indicheremo con
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Si chiama «rotatore» un sistema costituito da un corpo rigido girevole intorno ad un asse fisso, non soggetto a forze (o soggetto a forze di momento
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variabili si separano assumendo coordinate polari (nello spazio) col polo nel nucleo e l'asse polare diretto secondo il campo: adotteremo dunque queste
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Quest'ultimo ha il significato meccanico di «momento dell'impulso rispetto all'asse polare», ossia proiezione sull'asse polare del momento angolare p
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vale a dire: il momento angolare rispetto all'asse polare è espresso (in unità ) da un numero intero che dicesi «quanto magnetico» (e che corrisponde
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c) Quantizzazione spaziale. - Le due ultime condizioni di Sommerfeld determinano l'inclinazione del piano dell'orbita rispetto all'asse polare, ossia
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Integrando su tutto il semipiano meridiano, si ottiene il momento magnetico totale nella direzione dell'asse polare, che è
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b) Rotatore. - Consideriamo un rotatore contenente delle cariche elettriche , poste a distanza dall'asse: prendendo come asse z l'asse di rotazione
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lungo l'asse x, cioè parallelamente alla direzione delle oscillazioni.
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l'angolo del raggio vettore con l'asse x' sarà, al pari di r, una funzione periodica con frequenza cosicchè si potrà scrivere lo sviluppo di Fourier
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fissata una direzione privilegiata nello spazio (v. § 53), che si assume come direzione dell'asse z: il campo magnetico produce un lento movimento di
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, ossia è la componente di f secondo l'asse coordinato n-esimo. E allora lo sviluppo (31, p. II), che si può scrivere vettorialmente
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(componente di f sull'asse ) e analogamente tutte le formule della teoria dei vettori dello spazio hilbertiano verranno modificate nel senso di
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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godono la proprietà che: la proiezione del vettore di stato sull'asse principale resimo fornisce (supposto che non sia
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La proiezione di sull'asse principale è
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siano degeneri: allora ogni asse principale di è anche un asse principale di , cui potremo attribuire lo stesso indice, e perciò, dopo eseguita
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l'asse z per polo, si ha
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Una misura del momento angolare rispetto ad un asse dà dunque come risultato sempre un multiplo (positivo, nullo o negativo) di . È questo un
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Si vede poi subito che, se le forze hanno momento nullo rispetto all'asse z, la è (come in meccanica classica) un integrale primo. Difatti in tal
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(1) Precisamente, ciò avviene per tutte quelle osservabili il cui operatore ha un asse principale nella direzione del vettore di stato all'istante .
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momento magnetico) su una direzione qualunque, che generalmente si sceglie coincidente con l'asse z. La determinazione dello stato si completa dunque
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all'asse z, le matrici sono riferite allo «schema »: adottando un altro schema (e quindi un altro significato per ) le tre matrici si trasformerebbero
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che subito dopo si esegua un'osservazione dello spin rispetto all'asse z: quale è la probabilità di trovare + 1 e quale è quella di trovare —l? Lo
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Se, in particolare, la direzione n fosse normale all'asse z, le due probabilità risulterebbero uguali.
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Se ora supponiamo il campo magnetico diretto secondo l'asse z, e risolviamo il sistema (249) (determinando la costante di normalizzazione in modo che
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Nel primo caso si ha dunque , vale a dire lo spin è diretto con certezza nel verso dell'asse z, nel secondo caso e lo spin è diretto con certezza nel
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Se si fosse supposto invece lo spin antiparallelo all'asse z, cioè , si sarebbe giunti a una conclusione analoga, ma il momento magnetico sarebbe
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mantiene costante l'osservabile , dove , è un'osservabile i cui autovalori sono : ciò significa che il momento totale dell'impulso rispetto all'asse
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in prima approssimazione), consideriamo il caso in cui la forza che agisce sull'elettrone ha momento nullo rispetto all'asse z, come avviene p. es
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Per metterci nelle condizioni anzidette, supponiamo che sia A = O (assenza di campo magnetico), e V simmetrico intorno all'asse z, cioè, se si
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Serviamoci ora di queste per risolvere il problema: date le , trovare la probabilità che una osservazione dello spin rispetto all'asse z dia il
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all'asse z, le due con indice pari allo spin antiparallelo all'asse z. Nell'approssimazione non relativistica, come si è visto, e si possono trascurare
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in cui lo spin è parallelo all'asse z, la II invece al caso in cui lo spin è antiparallelo all'asse z: la soluzione più generale, che si ottiene
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In questo caso sono piccole rispetto a B (supposto ); e, ritenendole trascurabili, la soluzione I corrisponde allo spin parallelo all'asse z, la II
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Per interpretare i due tipi di soluzione così trovati, ricordiamo (v. § 53) che il momento angolare totale rispetto all'asse z corrisponde
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il che mostra che tutte le soluzioni qui considerate rappresentano stati in cui il momento angolare rispetto all'asse z ha un valore definito, e
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Accademia della crusca
